Question

若關于x，y，z的三元一次方程組

x+y+z=1 x+ysinθ+z=2 xsin2θ+ysinθ+z=3

有唯一組解，則θ的集合是

{θ|θ≠kπ+

π

2

，k∈Z}

．

Answer 1

分析：先把方程①②組合求出y=

1

sinθ-1

；再把②③組合求出x=

1

sin 2θ-1

=

1

(sinθ-1)(sinθ+1)

；再結合方程組

x+y+z=1 x+ysinθ+z=2 xsin2θ+ysinθ+z=3

有唯一組解得到分母不等于0即可求出θ的集合．

解答：解：對關于x，y，z的三元一次方程組

x+y+z=1 x+ysinθ+z=2 xsin2θ+ysinθ+z=3

的三個方程從上到下記為：①②③．
則②-①得：y（sinθ-1）=1⇒y=

1

sinθ-1

；
③-②得：x（sin²θ-1）=1⇒x=

1

sin 2θ-1

=

1

(sinθ-1)(sinθ+1)

；
因為：∴sinθ-1≠0且sinθ+1≠0⇒θ≠kπ+

π

2

，k∈Z．
故答案為：{θ|θ≠kπ+

π

2

，k∈Z}．

點評：本題主要考查方程組的求解．在解三元一次方程組時，一般是兩個兩個相結合求出方程組的解．解決本題的關鍵在于知道唯一組解時，所求的解需滿足什么條件．