Question

三棱臺ABC-A₁B₁C₁中，上底面ABC的面積為a²，下底面面積為b²（b＞a＞0），作截面AB₁C₁，設直線BC與平面AB₁C₁的距離等于這個三棱臺的高，那么截面AB₁C₁的面積是（　　）

• A、

  1

  3

  ab
• B、ab
• C、3ab
• D、

  1

  3

  (a+b)2

Answer 1

分析：連接BC₁后，我們可以將三棱臺ABC-A₁B₁C₁體積分為三個三棱錐的體積之和，根據已知中上底面ABC的面積為a²，下底面面積為b²（b＞a＞0），直線BC與平面AB₁C₁的距離等于這個三棱臺的高，結合棱臺和棱錐體積公式即可得到截面AB₁C₁的面積．

解答：解：連接BC₁，如下圖所示：
設三棱臺的高為h，
則VABC-A1B1C1=

1

3

(SABC+

SABC•SA1B1C1

+SA1B1C1)h
=VABC-A1+VA-A1B1C1+VB-A B1C1
=

1

3

SABCh+

1

3

SA1B1C1h+

1

3

SA B1C1h，
∴

SABC•SA1B1C1

=SA B1C1
又∵上底面ABC的面積為a²，下底面面積為b^{2
∴SA B1C1}=ab
故選B

點評：本題考查的知識點是棱臺的體積公式和棱錐的體積公式，將棱臺的體積VABC-A1B1C1分成三個三棱錐VABC-A1+VA-A1B1C1+VB-A B1C1的體積和，是解答本題的關鍵．