Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+b（a，b∈R），其圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函數f（x）的單調區間和極值；
（3）求函數f（x）在區間[-2，5]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用導數的幾何意義，結合函數解析式，即可求a，b的值；
（2）求導數，利用導數的正負，即可求函數f（x）的單調區間和極值；
（3）將函數的極大值與端點函數值，比較，即可求函數f（x）在區間[-2，5]上的最大值．

解答：解：（1）由題意，f′（x）=x²-2ax+a²-1．                                     …（1分）
又∵函數f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，
所以切線的斜率為-1，即 f′（1）=-1，∴a²-2a+1=0，解得a=1．                       …（2分）
又∵點（1，f（1））在直線x+y-3=0上，∴f（1）=2，…（3分）
同時點（1，f（1））即點（1，2）在y=f（x）上，∴2=

1

3

-a+(a2-1)+b，…（4分）
即2=

1

3

-1+(12-1)+b，解得b=

8

3

．                                 …（5分）
（2）由（1）有f(x)=

1

3

x3-x2+

8

3

，∴f′（x）=x²-2x，…（6分）
由f′（x）=0可知x=0，或x=2，
所以有x、f′（x）、f（x）的變化情況表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值	?	極小值	?

…（8分）
由上表可知，f（x）的單調遞增區間是（-∞，0）和（2，+∞），單調遞減區間是（0，2）； …（10分）
∴函數f（x）的極大值是f(0)=

8

3

，極小值是f(2)=

4

3

．                  …（11分）
（3）由（2），函數f（x）在區間[-2，5]上的極大值是f(0)=

8

3

．            …（12分）
又f(-2)=-4，f(5)=

58

3

，…（13分）
∴函數f（x）在區間[-2，5]上的最大值為

58

3

．…（14分）

點評：本題考查導數知識的應用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與極值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．