Question

  (本題滿分12分) 如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形

（1）求證：；

（2）設線段的中點為，在直線 上是否存在一點，使得？若存在，請指出點的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由；

（3）求二面角正切值的大小。

      

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）略

（3）二面角正切值為

【解析】解：（Ⅰ）因為平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，

所以BC⊥平面ABEF.

所以BC⊥EF. ……………………………………2分

因為⊿ABE為等腰直角三角形，AB=AE，

所以∠AEB=45°，

又因為∠AEF=45,

所以∠FEB=90°，即EF⊥BE. …………………3分

因為BC平面ABCD, BE平面BCE,

BC∩BE=B

所以   …………………………4分（II）取BE的中點N,連結CN,MN,則MNPC

∴PMNC為平行四邊形,所以PM∥CN.             ………6分   

∵CN在平面BCE內,PM不在平面BCE內,PM∥平面BCE  ………8分         

（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.

作FG⊥AB,交BA的延長線于G,則FG∥EA.從而FG⊥平面ABCD,

作GH⊥BD于H,連結FH,則由三垂線定理知BD⊥FH.

∴  ∠FHG為二面角F-BD-A的平面角. …………………10分

∵  FA=FE,∠AEF=45°,∠AEF=90°, ∠FAG=45°.

設AB=1,則AE=1,AF=,則

在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,

,                                         

在Rt⊿FGH中, ,

∴  二面角正切值為    ………………12分