Question

7．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁，F₂，過F₂作傾斜角為120°的直線與橢圓的一個交點為M，若MF₁垂直于MF₂，則橢圓的離心率為$\sqrt{3}-1$．

Answer 1

分析 結合圖形，根據Rt△MF₂ F₁中，在Rt△MF₁F₂中，F₁F₂=2c，∠F₁F₂M=60°，求出MF₂，MF₁，根據橢圓的定義列出關于a、c的方程，求e的值．

解答 解：如圖，
在Rt△MF₁F₂中，F₁F₂=2c，
∵∠F₁F₂M=60°，
∴MF₂=c，MF₁=2c×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$c
MF₁+MF₂=c+$\sqrt{3}$c=2a，⇒e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}-1$．
故答案為$\sqrt{3}-1$．

點評 本題考查直角三角形中的邊角關系，橢圓的簡單性質，考查運算能力．