Question

已知數列{a_n}為等比數列，其前n項和為S_n，已知，且對于任意的n∈N₊有S_n，S_n+2，S_n+1成等差；
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）已知b_n=n（n∈N₊），記，若（n-1）²≤m（T_n-n-1）對于n≥2恒成立，求實數m的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出等比數列的公比，利用對于任意的n∈N₊有S_n，S_n+2，S_n+1成等差得2S₃=S₁+S₂，代入首項和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首項，則數列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a_n和已知b_n=n代入整理，然后利用錯位相減法求T_n，把T_n代入（n-1）²≤m（T_n-n-1）后分離變量m，使問題轉化為求函數的最大值問題，分析函數的單調性時可用作差法．
解答：解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，
∵對于任意的n∈N₊有S_n，S_n+2，S_n+1成等差，
∴2．
整理得：．
∵a₁≠0，∴，2+2q+2q²=2+q．
∴2q²+q=0，又q≠0，∴q=．
又，
把q=代入后可得．
所以，；
（Ⅱ）∵b_n=n，，∴，
∴．
．
∴=
∴．
若（n-1）²≤m（T_n-n-1）對于n≥2恒成立，
則（n-1）²≤m[（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-n-1]對于n≥2恒成立，
也就是（n-1）²≤m（n-1）•（2ⁿ⁺¹-1）對于n≥2恒成立，
∴m≥對于n≥2恒成立，
令，
∵=
∴f（n）為減函數，∴f（n）≤f（2）=．
∴m．
所以，（n-1）²≤m（T_n-n-1）對于n≥2恒成立的實數m的范圍是[）．
點評：本題考查了等比數列的通項公式，考查了錯位相減法求數列的前n項和，考查了數列的函數特性，訓練了利用分離變量法求參數的取值范圍，解答此題的關鍵在于判斷分離變量后的函數的單調性，利用了比較大小的基本方法-作差法．
此題屬中高檔題．