Question

（本小題滿分15分）

已知函數.

(Ⅰ) 若曲線在點處的切線與曲線有且只有一個公共點，求 的值；

(Ⅱ) 求證：函數存在單調遞減區間，并求出單調遞減區間的長度 的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）以函數的遞減區間長度的取值范圍是.

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中 的運用。

（1）先求解函數的定義域為，函數導數

所以曲線在點處的切線方程為：

因為切線與曲線有唯一的公共點，

所以方程有且只有一個實數解，顯然是方程的一個解.

構造函數令，則

對參數m討論得到結論。

（2））因為.

因為且對稱軸為，

，

所以方程在內有兩個不同實根，

結合韋達定理得到結論。

解：（Ⅰ）函數的定義域為，

所以曲線在點處的切線方程為：

因為切線與曲線有唯一的公共點，

所以方程有且只有一個實數解，顯然是方程的一個解.

令，則

①當時，，

所以在上單調遞增，即是方程唯一實數解.

②當時，由得，，

在區間上，；在區間上，；

所以函數在處有極大值，且；

而當，因此在內也有一個解.

即當時，不合題目的條件.

綜上討論得.……………………………………………………………………………8分

（Ⅱ）.

因為且對稱軸為，

，

所以方程在內有兩個不同實根，

即的解集為，

所以函數的單調遞減區間為.

由于，所以，

所以函數的遞減區間長度的取值范圍是.……………………15分