設實數q滿足|q|＜1,數列{an}滿足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表達式，又如果
S2n＜3,求q的取值范圍
－1＜q＜0或0＜q＜
∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,
∴q≠0,a2=－
,
∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1?
兩式相除，得
,即an+2=q·an
于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－
qn(n=1,2,3,…)
綜合①②，猜想通項公式為an=
下證：(1)當n=1,2時猜想成立
(2)設n=2k－1時，a2k－1=2·qk－1則n=2k+1時，由于a2k+1=q·a2k－1?
∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.
可推知n=2k+1也成立.
設n=2k時，a2k=－qk,則n=2k+2時，由于a2k+2=q·a2k?,
所以a2k+2=－qk+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.
綜上所述，對一切自然數n,猜想都成立.
這樣所求通項公式為an=
S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)
=2(1+q+q2+…+qn-1?)－ (q+q2+…+qn)
由于|q|＜1,∴
=
依題意知
＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
| 1 | 6 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
| 1 |
| x |
| f(x2)-f(x1) |
| x2-x1 |
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數
的圖象過坐標原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實數
的值；
（Ⅱ）求
在區間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數
，曲線
上是否存在兩點P、Q，使得
是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當
時，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當
時，
，令
得
，結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定，得到極值和最值
第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設
，則
，顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
（Ⅰ）當時，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當時，，令得
當
變化時，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
。∴在
上的最大值為2.
②當
時, 
.當
時, 
,最大值為0；
當
時, 在
上單調遞增。∴在最大值為
。
綜上，當
時，即
時，在區間上的最大值為2；
當
時，即
時，在區間上的最大值為。
（Ⅲ）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設，則，顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上
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單調遞減
q：實數x滿足
且
的必要不充分條件，求a的取值范圍。