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如圖,D,E分別為△ABC邊AB,AC的中點(diǎn),直線DE交△ABC的外接圓于F,G兩點(diǎn),若CF∥AB,證明:

(1)CD=BC.

(2)△BCD∽△GBD.

【證明】(1)因?yàn)镈,E分別為AB,AC的中點(diǎn),所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四邊形BCFD是平行四邊形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,連接AF,所以四邊形ADCF是平行四邊形,故CD=AF.因?yàn)镃F∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.

(2)∵D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),　

∴FG∥BC,∴GB=CF.

由(1)知BD=CF,則GB=BD,∴∠BGD=∠BDG,

又由(1)知BC=CD,∴∠CBD=∠CDB,

∵∠BDG=∠CBD,∴∠CBD=∠CDB=∠BDG=∠BGD,∴△BCD∽△GBD.

練習(xí)冊系列答案
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如圖所示,D,E分別為△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),且不與△ABC的頂點(diǎn)重合.已知AE的長為m,AC的長為n,AD,AB的長是關(guān)于x的方程x2-14x+mn=0的兩個根.

(1)證明:C,B,D,E四點(diǎn)共圓;

(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圓的半徑.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（北京卷解析版） 題型：解答題

如圖1，在中，，D,E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將沿DE折起到的位置，使，如圖2.

（Ⅰ）求證：DE∥平面

（Ⅱ）求證：

（Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)Q，使？說明理由。

【解析】（1）∵DE∥BC，由線面平行的判定定理得出

（2）可以先證，得出，∵∴

∴

(3)Q為的中點(diǎn)，由上問，易知,取中點(diǎn)P，連接DP和QP，不難證出，∴∴,又∵∴

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖2-2-9,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=BC,D,E分別為BB1、AC1的中點(diǎn).

圖2-2-9

(1)證明ED為異面直線BB1與AC1的公垂線;

(2)設(shè)AA1=AC=AB,求二面角A1-AD-C1的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=BC,D,E分別為BB1,AC1的中點(diǎn).

(1)證明:ED為異面直線BB1與AC1的公垂線;

(2)設(shè)AA1=AC=AB,求二面角A1—AD—C1的大小.

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