Question

如圖所示是一個幾何體的直觀圖、正視圖、俯視圖和側視圖（尺寸如圖所示）．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若G為BC上的動點，求證：AE⊥PG．

Answer 1

分析：（1）結合三視圖，得到幾何體及其相關棱長，求四棱錐P-ABCD的底面面積和高，即可求出V_P-ABCD的體積．
（2）連BP，由已知中

EB

AB

=

BA

PA

=

1

2

，∠EBA與∠BAP均為直角，我們可以得到PB⊥AE，結合BC⊥AE，及線面垂直的判定定理，得到AE⊥面PBG，再由線面垂直的性質定理，即可得到答案．

解答：解：（1）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，
PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA=4

2

，BE=2

2

，AB=AD=CD=CB=4，
∴V_P-ABCD=

1

3

PA•S_{四邊形ABCD}=

1

3

×4

2

×4×4=

64 2

3

．
（2）連接BP，
∵

EB

AB

=

BA

PA

=

1

2

，∠EBA=∠BAP=90°，
∴∠PBA=∠BEA．
∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°．
∴PB⊥AE．
又BC⊥平面APEB，
∴BC⊥AE．
∴AE⊥平面PBG．
∴AE⊥PG．

點評：本題是中檔題，考查直線與平面垂直的性質及幾何體的體積的求法，考查計算能力．