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已知a為實數,x=1是函數的一個極值點.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若函數f(x)在區間(2m-1,m+1)上單調遞減,求實數m的取值范圍;
(Ⅲ)設函數,對于任意x≠0和x1,x2∈[1,5],有不等式|λg(x)|-5ln5≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,求實數λ的取值范圍.
【答案】分析:(I)利用1處的導數值為0就可求的a的值;
(Ⅱ)利用導數小于0求出函數的遞減區間,然后讓區間(2m-1,m+1)是求出減區間子區間就可求出參數m的取值范圍,還要注意:2m-1<m+1;
(Ⅲ)先利用導數求出函數的極大值和極小值,極大值和極小值之差就是|f(x1)-f(x2)|的最大值,然后讓|λg(x)|-5ln5大于等于這個最大值,再用基本不等式求出|λg(x)|
的最小值,便可求出實數λ的取值范圍.
解答:解:
(I)f′(1)=0⇒1-6+a=0⇒a=5
(Ⅱ)首先x>0,由(I)得
令f′(x)<0,得:1<x<5即f(x)的單調遞減區間是(1,5)
∵f(x)在區間(2m-1,m-1)上單調遞減
∴(2m-1,m-1)⊆(1,5)⇒⇒1≤m<2
(Ⅲ)由(I),,列表如下:



∴|λg(x)|-5ln5≥|f(x1)-f(x2)|恒成立?∴|λg(x)|≥12恒成立
當且僅當x=±1取等號
|λg(x)|min=|2λ|≥12⇒|λ|≥6⇒λ≤-6或λ≥6
點評:本題主要考查了利用導數求單調區間及極值的方法,還涉及到恒成立問題轉化為求最值問題的一般數學思想,在第2問很容易忽略區間的左端點要小于右端點這一條件,所以本題也屬于易錯題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

(2010•龍巖二模)已知a為實數,x=1是函數f(x)=
1
2
x2-6x+alnx
的一個極值點.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若函數f(x)在區間(2m-1,m+1)上單調遞減,求實數m的取值范圍;
(Ⅲ)設函數g(x)=x+
1
x
,對于任意x≠0和x1,x2∈[1,5],有不等式|λg(x)|-5ln5≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,求實數λ的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:2013-2014學年湖南省名校高三上學期第一次大聯考文科數學試卷(解析版) 題型:解答題

已知a為實數,x=1是函數的一個極值點。

(Ⅰ)若函數在區間上單調遞減,求實數m的取值范圍;

(Ⅱ)設函數,對于任意,有不等式

恒成立,求實數的取值范圍.

 

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科目:高中數學 來源:2012-2013學年陜西省某重點中學高考數學一模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知a為實數,x=1是函數的一個極值點.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若函數f(x)在區間(2m-1,m+1)上單調遞減,求實數m的取值范圍;
(Ⅲ)設函數,對于任意x≠0和x1,x2∈[1,5],有不等式|λg(x)|-5ln5≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,求實數λ的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:2012年陜西省西安市雁塔區高新一中高三第十一次大練習數學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知a為實數,x=1是函數的一個極值點.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若函數f(x)在區間(2m-1,m+1)上單調遞減,求實數m的取值范圍;
(Ⅲ)設函數,對于任意x≠0和x1,x2∈[1,5],有不等式|λg(x)|-5ln5≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,求實數λ的取值范圍.

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