Question

已知函數f（x）=x²-ax+a（a∈R）的圖象與x軸相切，且在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
（I）求函數f（x）的表達式；
（II）設函數g（x）=xf（x），求g（x）的極值；
（III）設函數h（x）=g（x）+x-k，當h（x）存在3個零點時，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意，令△=a²-4a=0，解得a=0或4．再分別驗證是否符合條件即可；
（II）g（x）=xf（x）=x³-4x²+4x，g′（x）=3x²-8x+4，
令g′（x）=0，解得x=

2

3

或2．
列表如下：即可得出極值．
（III）h（x）=g（x）+x-k=x³-4x²+5x-k，
∴h′（x）=3x²-8x+5，令h′（x）=0，解得x=

5

3

或1．
可知h（x）_極大值=h（1），h(x)極小值=h(

5

3

)．
由題意h（x）存在3個零點，則

h(1)＞0 h( 5 3 )＜0

，解出即可．

解答：解：（I）由題意，令△=a²-4a=0，解得a=0或4．
當a=0時，f（x）=x²，在（0，+∞）單調遞增，不符合題意；
當a=4時，f（x）=（x-2）²，在區間（0，2）上單調遞減，符合題意．
∴f（x）=x²-4x+4．
（II）g（x）=xf（x）=x³-4x²+4x，g′（x）=3x²-8x+4，
令g′（x）=0，解得x=

2

3

或2．
列表如下：∴g(x)極大值=g(

2

3

)=

32

27

，g（x）_極小值=g（2）=0．
（III）h（x）=g（x）+x-k=x³-4x²+5x-k，
∴h′（x）=3x²-8x+5，令h′（x）=0，解得x=

5

3

或1．
可知h（x）_極大值=h（1），h(x)極小值=h(

5

3

)．
由題意h（x）存在3個零點，則

h(1)＞0 h( 5 3 )＜0

，解得

50

27

＜k＜2．
所以實數k的取值范圍是(

50

27

，2)．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值、函數的零點等是解題的關鍵．