Question

（07年北師大附中） 已知f (x ) = x³ + bx² + cx + d在(－∞，0)上是增函數，在[0，2]上是減函數，且方程f (x ) = 0有三個根，它們分別為α，2，β.

（1）求c的值；

（2）求證：f (1 )≥2.

Answer 1

解析：（1）(x) = 3x² + 2bx + c，

∵ f (x )在(－∞，0)上是增函數，在[0，2]上是減函數，

∴ x = 0時，f (x )取到極大值.

∴ (0 ) ＝ 0，∴ c = 0.

（2）∵ f (2 ) = 0，∴ d =－4 (b +2)，(x ) = 3x² + 2bx = 0的兩個根分別為x₁ = 0，x₂ =－，

∵ 函數f (x )在[0，2]上是減函數，∴ x₂ =－≥2.

∴ b≤－3，∴ f (1 ) = b + d + 1 = b－4 (b +2) + 1 = －7－3b≥2.