Question

已知橢圓方程是橢圓的左焦點，直線l為對應的準線，直線l與x軸交于P點，MN為橢圓的長軸，過P點任作一條割線AB（如圖），則∠AFM與∠BFN的大小關系為（ ）

A．∠AFM＞∠BFN
B．∠AFM＜∠BFN
C．∠AFM=∠BFN
D．無法判斷

Answer 1

【答案】分析：當AB斜率為0時，顯然∠AFM=∠BFN成立；當AB斜率不為0時，設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，進而可得直線AF，BF的斜率的和為0，從而可得結論．
解答：解：當AB的斜率為0時，顯然∠AFM=∠BFN=0．
當AB的斜率不為0時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程為x=my-8，
代入橢圓方程，整理得（3m²+4）y²-48my+144=0
則△=（48m）²-4×144（3m²+4），
∴y₁+y₂=，y₁y₂=
∴k_AF+k_BF=+===0
∴k_AF+k_BF=0，從而∠AFM=∠BFN．
綜上可知：恒有∠AFM=∠BFN．
故選C．
點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查斜率的計算，屬于中檔題．