Question

已知向量

OA

=(0，2)，

OB

=(2，0)，

BC

=(

2

cosα，

2

sinα)，則

OA

與

OC

夾角的取值范圍是（　　）

• A．[0，

  π

  4

  ]
• B．[

  π

  3

  ，

  2π

  3

  ]
• C．[

  π

  4

  ，

  3π

  4

  ]
• D．[

  π

  6

  ，

  5π

  6

  ]

Answer 1

分析：由題知點C在以B（2，0）為圓心，為半徑的圓上，所以本題應采用數形結合來解題，由圖來分析其夾角的最大最小值點

解答：解：∵

OC

=

OB

+

BC

=（2，0）+（

2

cosα，

2

sinα）=（2+

2

cosα，

2

sinα）
令x=2+

2

cosα，y=

2

sinα，則（x-2）²+y²=2
則C在以M（2，0）為圓心以

2

為半徑的圓上
設直線AC：y=kx，當直線AC與圓B相切時，由

|2k|

1+k2

=

2

可得k=±1
當C在如圖所示的i位置時，夾角最大，此時夾角

π

2

+

π

4

=

3π

4

當C在如圖所示的ii位置時，夾角最小，此時夾角

π

2

-

π

4

=

π

4

夾角

π

4

≤α≤

3π

4

故選C

點評：本題考查向量的坐標運算及向量的數量積與夾角，解題的關鍵是求出C的軌跡，結合圓的性質進行求解，是一道考查基本功的題．