Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE，BD∩AC=G．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求證：AE∥平面BFD；
（3）求三棱錐E-ADC的體積．

Answer 1

分析：（1）由已知中AD⊥平面ABE，AD∥BC，得到BC⊥平面ABE，即AE⊥BC，又由BF⊥平面ACE，即BF⊥AE，再由線面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面BCE；
（2）連接GF，由已知BF⊥平面ACE，我們易得GF∥AE，由線面平行的判定定理，可以得到AE∥平面BFD；
（3）由已知可得三棱錐E-ADC的體積等于三棱錐E-ABC的體積，求出三棱錐E-ABC的體積，即可得到棱錐E-ADC的體積．

解答：解：（1）證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC．（2分）
又∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE（4分）
（2）連接GF，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE
∵BE=BC，∴F為EC的中點；
∵矩形ABCD中，G為兩對角線的交點且是兩線段的中點，
∴GF∥AE，（7分）
∵GF?平面BFD，AE?平面BFD，
∴AE∥平面BFD．（8分）
（3）∵三棱錐E-ADC的體積等于三棱錐E-ABC的體積
∵V_E-ABC=

1

3

•BC•SABE=

4

3

故棱錐E-ADC的體積為

4

3

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積，及直線與平面平行的判定，其中熟練掌握空間中直線與平面的平行及垂直的判定、性質、定義、幾何特征是解答此類問題的關鍵．