Question

已知二次函數f （ x ）=x²+ax+b關于x=1對稱，且其圖象經過原點．
（1）求這個函數f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）=f（2^x），求函數g（x）在x∈[-3，2]上的值域；
（3）若函數H（x）=f（|x|）-a（a為常數），試討論此函數H（x）的零點個數情況，并說出相應a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）二次函數f （ x ）=x²+ax+b關于x=1對稱，由此關系求出a值，且其圖象經過原點，可得f （0）=0，由此求出b，即可得到函數的解析式；
（2）函數g（x）=f（2^x），是一個復合函數，可先求出t=2^x在x∈[-3，2]上的值域，再求出二次函數f （ x ）的值域；
（3）函數H（x）=f（|x|）-a（a為常數），是一個偶函數，且當x≥0時，H（x）=f （ x ），故問題轉化為研究f （ x ）在x≥0時有幾個零點，

解答：解：（1）二次函數f （ x ）=x²+ax+b關于x=1對稱，且其圖象經過原點
∴-

a

2

=1，b=0，即a=-2，b=0，故函數的解析式為f （ x ）=x²-2x
（2）x∈[-3，2]，則t=2^x在x∈[-3，2]上的值域是[

1

8

，4]，由f （ x ）=x²-2x的性質知，函數在x=1時取到最小值-1，在x=4時函數取到最大值8，故函數g（x）在x∈[-3，2]上的值域是[-1，8]．
（3）函數H（x）=f（|x|）-a（a為常數），是一個偶函數，且當x≥0時，H（x）=f （ x ）-a，
當a=0時，H（x）=f （ x ）=x²-2x在x≥0時有兩個零點x=0，x=2，故函數H（x）有三個零點分別為x=0，x=2，x=-2
當-1＜a＜0時，f （ x ）=x²-2x-a在x≥0時有兩個零點，都大于0，故函數H（x）有四個零點
當a=-1時，f （ x ）=x²-2x-a在x≥0時有一個正零點，故函數H（x）有兩個零點
當a＜-1時，f （ x ）=x²-2x-a在x≥0時沒有零點，故函數H（x）沒有零點
當a＞0時，f （ x ）=x²-2x-a在x≥0時有一個正零點，故函數H（x）有兩個零點

點評：本題考查函數的零點，解題的關鍵是理解函數零點的定義以及根據題設條件求出二次函數的解析式，依據對二次函數的零點的研究得出函數H（x）=f（|x|）-a（a為常數）零點的情況，由于參數a的取值范圍不同，函數零點的情況不同，本題利用分類探究對函數零點的情況進行了研究．要注意總結分類的依據．本題易因為分類標準不清致錯．