Question

已知f（x）=sin（x+φ）cosx（φ為常數）的圖象關于原點對稱，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調增區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據f（x）的圖象關于原點對稱得到f（x）=-f（-x），再由兩角和與差的正弦公式展開化簡，再根據正弦函數的性質確定φ的范圍，最后根據確定φ的值，進而可得到f（x）的解析式．
（2）令，求出x的范圍即可得到答案．
解答：解：（1）∵f（x）的圖象關于原點對稱，∴f（x）=-f（-x）恒成立，
即sin（x+φ）cosx=-sin（-x+φ）cos（-x）恒成立．
∴cosx[sin（x+φ）-sin（x-φ）]=0恒成立，
∴2cos²xsinφ=0恒成立．
∴sinφ=0，∴φ=kπ（k∈Z），
∴f（x）=sin（x+kπ）cosx（k∈Z）．
又，
∴或（n∈Z）．
∴k=2n或（舍去，∵k∈Z），∴k=2n（n∈Z）．
∴．
（2）令，得
∴f（x）的單調增區間．
點評：處理三角函數性質的綜合題，要求掌握好三角的恒等變形及三角式的求值等方面的知識．考查綜合能力，轉化與化歸思想，以及分析問題和解決問題的能力．