Question

已知二次函數y=g（x）的圖象經過點O（0，0）、A（m，0）與點P（m+1，m+1），設函數f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b處取到極值，其中m＞n＞0，b＜a．
（1）求g（x）的二次項系數k的值；
（2）比較a，b，m，n的大小（要求按從小到大排列）；
（3）若m+n≤2，且過原點存在兩條互相垂直的直線與曲線y=f（x）均相切，求y=f（x）．

Answer 1

解：（1）由題意可設g（x）=kx（x-m），k≠0，
又函數圖象經過點P（m+1，m+1），則m+1=k（m+1）（m+1-m），得k=1．…（2分）
（2）由（1）可得y=g（x）=x（x-m）=x²-mx．
所以f（x）=（x-n）g（x）=x（x-m）（x-n）=x³-（m+n）x²+mnx，
f′（x）=3x²-2（m+n）x+mn，…（4分）
函數f（x）在x=a和x=b處取到極值，
故f′（a）=0，f′（b）=0，…（5分）
∵m＞n＞0，
∴f′（m）=3m²-2（m+n）m+mn=m²-mn=m（m-n）＞0…（7分）
f′（n）=3n²-2（m+n）n+mn=n²-mn=n（n-m）＜0
又b＜a，故b＜n＜a＜m． …（8分）
（3）設切點Q（x₀，y₀），則切線的斜率
又，所以切線的方程是…（9分）
又切線過原點，故
所以，解得x₀=0，或． …（10分）
兩條切線的斜率為，，
由，得（m+n）²≤8，
∴，
∴，
…（12分）
所以，
又兩條切線垂直，故k₁k₂=-1，所以上式等號成立，有，且mn=1．
所以． …（14分）
分析：（1）由題意可設g（x）=kx（x-m），k≠0，根據題中條件：函數圖象經過點P（m+1，m+1），列出等式得k值；
（2）由（1）可得y=g（x）=x（x-m）=x²-mx．從而f（x）=x³-（m+n）x²+mnx，再利用導數研究此函數的極值，結合取值極值的條件得出a，b，m，n的大小．
（3）設切點Q（x₀，y₀），利用導數的幾何意義得到切線的斜率及切線的方程，再結合基本不等式及兩條切線垂直，求出，mn=1，從而得到y=f（x）的解析式．
點評：本小題主要考查二次函數的性質、函數導數的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．