Question

已知函數f（x）=ln（ax+1）+

2

x+1

-1（x≥0，a＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=2處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若a=1且b＜0，函數g（x）=

1

3

bx³-bx，若對于?x₁∈（0，1），總存在x₂∈（0，1）使得f（x₁）=g（x₂），求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由f（x）求導函數f′（x），f（x）在x=2處取得極值，得f′（2）=0，求出a的值；
（II）對f（x）的導函數f′（x），討論f′（x）＞0時，函數是增函數，f′（x）＜0時，函數是減函數；得f（x）的單調區間；
（Ⅲ）a=1時，求出f（x）在（0，1）上的值域A；b＜0時，g（x）在（0，1）上的值域B；由題意A⊆B；從而求出b的取值范圍．

解答：解：（I）∵f（x）=ln（ax+1）+

2

x+1

-1，∴f′（x）=

a

ax+1

-

2

(x+1)2

=

a(x+1)2-2(ax+1)

(ax+1)(x+1)2

=

ax2+a-2

(ax+1)(x+1)2

由f（x）在x=2處取得極值，得f′（2）=0，即5a-2=0，
∴a=

2

5

；
（II）∵f′（x）=

ax2+a-2

(ax+1)(x+1)2

（其中a＞0，且x≥0），
若a≥2，x≥0時，得f′（x）＞0
即f（x）在[0，+∞）上是增函數，
若0＜a＜2時，令f′（x）=0，有x=

2-a a

，或x=-

2-a a

（舍去）      

x	（0， 2-a a ）	2-a a	（ 2-a a +∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減函數		增函數

∴f（x）的單調減區間是（0，

2-a a

），單調增區間是 （

2-a a

，+∞），
（Ⅲ）當a=1時，由（2）得f（x）在（0，1）上是減函數，
∴ln2＜f（x）＜1，即f（x）的值域A=（ln2，1）；　
∵g（x）=

1

3

bx³-bx，∴g′（x）=bx²-b=b（x-1）（x+1），且b＜0，∴x∈（0，1）時g′（x）＞0；
∴g（x）在（0，1）上是增函數．∴g（x）的值域B=（0，-

2

3

b）；
由任取x₁∈（0，1），存在x₂∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₂），∴A⊆B；
即-

2

3

b≥1，∴b≤-

3

2

；
∴b的取值范圍是{b|b≤-

3

2

}．

點評：本題考查了利用導函數研究函數的單調性與極值的問題，以及函數的值域問題，是較難的題目．