Question

如圖，在空間直角坐標系xoy中，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E₁在A₁B₁上，F₁在C₁D₁上，且B₁E₁=D₁F₁=

3A1B1

4

．
（Ⅰ）求向量

BE1

，

DF1

的坐標；
（Ⅱ）求BE₁與DF₁所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得點得B，E₁，D，F₁的坐標，由向量的坐標運算可得

BE1

，

DF1

的坐標；
（Ⅱ）由（Ⅰ）所得的

BE1

，與

DF1

的坐標，由夾角公式可得這兩個向量夾角的余弦值，進而可得所求．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得B（1，1，0），E₁（1，

1

4

，1），D（0，0，0），F₁（0，

3

4

，1)，
故

BE1

=(1，

1

4

，1)-(1，1，0)=(0，-

3

4

，1)，

DF1

=(0，

3

4

，1)-(0，0，0)=(0，

3

4

，1)-----------------------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

BE1

=(0，-

3

4

，1)，

DF1

=(0，

3

4

，1)，
∴|

BE1

|=

02+(- 3 4 )2+12

=

5

4

，|

DF1

|=

02+( 3 4 )2+12

=

5

4

，

BE1

•

DF1

=0×0+(-

3

4

×

3

4

)+1×1=

7

16

，
所以cos＜

BE1

，

DF1

＞=

BE1 • DF1

| BE1 |•| DF1 |

=

7 16

5 4 × 5 4

=

7

25

，
故BE₁與DF₁所成的角的余弦值為

7

25

-------------------------（13分）

點評：本題考查異面直線所成的角，涉及向量的坐標運算，屬中檔題．