Question

已知函數f（x）=sin2x+2cos²x-1．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[

π

4

，

3π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）根據二倍角的余弦公式結合輔助角公式，化簡整理得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)．再根據函數y=Asin（ωx+φ）的周期與最值的結論，不難得到函數f（x）的最小正周期和最大值；
（II）由（I）得到的表達式，結合當x∈[

π

4

，

3π

4

]時，2x+

π

4

∈[

3π

4

，

7π

4

]，再根據正弦函數的圖象與性質的公式，即可得到函數的最大值與最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵2cos²x-1=cos2x，f（x）=sin2x+2cos²x-1，
∴f（x）=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)．…..（3分）
因此，函數的周期T=ω=

2π

2

=π．…..（5分）
又∵-1≤sin(2x+

π

4

)≤1，
∴-

2

≤f(x)≤

2

，當2x+

π

4

=

π

2

+2kπ時，即x=

π

8

+kπ（k∈Z）時，函數的最大值為

2

．
綜上所述，函數f（x）的最小正周期是π；最大值是

2

．…..（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)．
∵

π

4

≤x≤

3π

4

，得

3π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

4

．
∴-

2

≤

2

sin(2x+

π

4

)≤

2

×

2

2

=1
當2x+

π

4

=

3π

4

時，即x=

π

4

時，函數f（x）有最大值是1；
當2x+

π

4

=

3π

2

時，即x=

5π

8

時，函數f（x）有最小值是-

2

．
綜上所述，函數f（x）在區間[

π

4

，

3π

4

]上的最大值是1，最小值是-

2

．…..（13分）

點評：本題結合輔助角公式和三角函數的降冪公式，將三角函數式化簡并求函數的周期與最值，著重考查了三角函數中的恒等變換應用和函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質等知識，屬于基礎題．