Question

已知函數f（x）=a^x-2

4-ax

-1（a＞0，a≠1）．
（I）求函數f（x）的定義域、值域；
（II）是否存在實數a，使得函數f（x）滿足：對于區間（2，+∞）上使函數f（x）有意義的一切x，都有f（x）≥0．

Answer 1

分析：（I）、根據偶次根式被開方數非負列不等式，解指數不等式即可．
（II）、通過換元對于區間（2，+∞）上使函數f（x）有意義的一切x，都有f（x）≥0
轉化為g（t）═-（t+1）²+4，在t∈[

4-a2

，2)的函數值均非負．歸結為二次函數的最值問題．

解答：解：（I）由4-a^x≥0，得a^x≤4．當a＞1時，x≤log_a4；當0＜a＜1時，x≥log_a4．
即當a＞1時，f（x）的定義域為（-∞，log_a4]；當0＜a＜1時，f（x）的定義域為[log_a4，+∞）．
令t=

4-aX

，則0≤t＜2，且a^x=4-t²，∴設g（t）=4-t²-2t-1=-（t+1）²+4，
當t∈[0，2）時，g（t）是單調減函數，∴-5＜y≤3，
∴函數f（x）的值域是（-5，3]．
（II）若存在實數a使得對于區間（2，+∞）上使函數f（x）有意義的一切x，都有f（x）≥0，則區間（2，+∞）是定義域的子集．
由（I）知，若a＞1不滿足條件；
若0＜a＜1，x∈（2，+∞），0＜a^x＜a²＜1，則t∈[

4-a2

，2)．
g（t）═-（t+1）²+4的對稱軸為x=-1，在t∈[

4-a2

，2)為減函數
因為∵a2＜1 ∴ 

4-a2

＞ 1，g(

4-a2

)＜g(1)=0
∴x∈（2，+∞），f（x）＜0，即f（x）≥0不成立．
綜上，滿足條件的a的取值范圍是∅．

點評：本題重點考查求函數的定義域和值域問題，用到了換元和分類討論的數學思想，二次函數的最值問題，