Question

已知函數，其中.

（1）當時判斷的單調性；

（2）若在其定義域為增函數，求正實數的取值范圍；

（3）設函數，當時，若，總有成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）增函數；（2）；（3） .

【解析】

試題分析：(1) 本小題首先求得函數的定義域，再利用導數的公式和法則求得函數的導函數，發現其在恒大于零，于是可知函數在上單調遞增；(2) 本小題首先求得函數的定義域，再利用導數的公式和法則求得函數的導函數，根據函數在其定義域內為增函數，所以，，然后轉化為最值得求解；（3）本小題首先分析“，，總有成立”等價于 “在上的最大值不小于在上的最大值”，于是問題就轉化為求函數的最值.

試題解析：（1）的定義域為,且>0

所以f(x)為增函數.                           3分

（2），的定義域為

                      5分

因為在其定義域內為增函數，所以，

而，當且僅當時取等號，所以       9分

（3）當時，，

由得或

當時，；當時，．

所以在上，                     11分

而“，，總有成立”等價于

“在上的最大值不小于在上的最大值”

而在上的最大值為

所以有

所以實數的取值范圍是                     14分

考點：1.導數公式與法則；2.函數的單調性；3.等價轉化.