Question

已知函數f（x）=a^x-a+1，（a＞0且a≠1）恒過定點（3，2），
（1）求實數a；
（2）在（1）的條件下，將函數f（x）的圖象向下平移1個單位，再向左平移a個單位后得到函數g（x），設函數g（x）的反函數為h（x），求h（x）的解析式；
（3）對于定義在[1，9]的函數y=h（x），若在其定義域內，不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2 恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=a，則f（a）=2，從而可知f（x）過定點（a，2），再由題設即可求得a值；
（2）根據圖象平移規則：左加右減，上加下減即可求得g（x）表達式，從而可得h（x）的解析式；
（3）令t=log₃x，則t∈[0，2]，不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2 恒成立，可轉化為關于t的二次不等式恒成立，進而轉化為求函數的最值解決，利用二次函數的性質易求其最值；

解答：解：（1）由f（x）=a^x-a+1，知令x=a，則f（a）=2，
所以f（x）恒過定點（a，2），
由題設得a=3；
（2）由（1）知f（x）=3^x-3+1，
將f（x）的圖象向下平移1個單位，得到m（x）=3^x-3，
再向左平移3個單位，得到g（x）=3^x，
所以函數g（x）的反函數h（x）=log₃x．
（3）[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2，即[log₃x+2]²≤log3x2+m+2，
所以(log3x)2+2log₃x+2-m≤0，
令t=log₃x，則由x∈[1，9]得t∈[0，2]，
則不等式化為t²+2t+2-m≤0，
不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2 恒成立，等價于t²+2t+2-m≤0恒成立，
因為t²+2t+2-m=（t+1）²+1-m在[0，2]上單調遞增，
所以t²+2t+2-m≤2²+2×2+2-m=10-m，
所以10-m≤0，解得m≥10．
故實數m的取值范圍為：m≥10．

點評：本題考查函數恒成立問題，考查函數圖象變換及反函數，考查學生分析問題解決問題的能力，解決恒成立問題的基本思路是轉化為函數的最值解決．