Question

已知函數f（x）=lnx+ax-a²x²（a∈R）
（1）若x=1是函數y=f（x）的極值點，求a的值；
（2）若a≥0，求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）確定函數f（x）的定義域，利用x=1是函數y=f（x）的極值點，可得f'（1）=0，從而可求a的值；
（2）求導函數，分類討論，利用導數的正負，可得函數f（x）的單調區間．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）、…（1分）
f′(x)=

1

x

+a-2a2x=

-2a2x2+ax+1

x

、
因為x=1是函數y=f（x）的極值點，所以f'（1）=1+a-2a²=0、…（5分）
所以a=-

1

2

或a=1、
經檢驗，a=-

1

2

或a=1時，x=1是函數y=f（x）的極值點、
所以a的值是-

1

2

或1、…（6分）
（2）由（1）知：f′(x)=

1

x

+a-2a2x=

-2a2x2+ax+1

x

、
若a=0，f′(x)=

1

x

＞0，所以函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）；  …（8分）
若a＞0，令f′(x)=

(2ax+1)(-ax+1)

x

=0，解得x1=-

1

2a

，x2=

1

a

、
當a＞0時，f'（x），f（x）的變化情況如下表

x	(0， 1 a )	1 a	( 1 a ，+∞)
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

∴函數y=f（x）的單調遞增區間是(0，

1

a

)，單調遞減區間是(

1

a

，+∞)．…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．