Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D為AC的中點．
（1）求證：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）在線段CC₁上是否存在一點E，使得直線A₁E與平面A₁BD所成的角的正弦值為

3

3

，若存在，試確定E的位置，并判斷平面A₁BD與平面BDE是否垂直？若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，我們易得A₁B⊥AB₁，AC₁⊥A₁B，由線面垂直的判定定理可得A₁B⊥面AB₁C₁，進而A₁B⊥B₁C₁，BB₁⊥B₁C₁，結合垂直的判定定理可得B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）證法1：過點E作EF∥AC₁交直線A₁D于F，則∠EA₁F就是直線A₁E與平面A₁BD所成的角，結合已知中直線A₁E與平面A₁BD所成的角的正弦值為

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，設AB=BB₁=2，CE=x，構造關于x的方程，解方程求出x的值，即可得到結論．
證法2：以B為坐標原點，分別以BA，BC，BB₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設設AB=BB₁=2，CE=x，結合已知中直線A₁E與平面A₁BD所成的角的正弦值為

3

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，構造關于x的方程，解方程求出x的值，即可得到結論．

解答：解：（1）∵AB=B₁B
∴四邊形ABB₁A₁為正方形，
∴A₁B⊥AB₁
又∵AC₁⊥面A₁BD，
∴AC₁⊥A₁B，
∴A₁B⊥面AB₁C₁，
∴A₁B⊥B₁C₁
又在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥B₁C₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁…（6分）
（2）證法1：假設在線段CC₁上存在點E，使得直線A₁E與平面A₁BD所成的角的正弦值為

3

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，設AB=BB₁=2，CE=x，
過點E作EF∥AC₁交直線A₁D于F，則EF⊥面A₁BD，所以∠EA₁F就是直線A₁E與平面A₁BD所成的角，
所以sin∠EA1F=

EF

A1E

，而EF=

1

3

(x+2)，A1E=

8+(2-x)2

所以得x=1
即E是C₁C的中點     …（12分）
∵D、E分別為AC、C₁C的中點，∴DE∥AC₁
∵AC₁⊥平面A₁BD，∴DE⊥平面A₁BD
又∵PE?平面BDE，∴平面ABD⊥平面BDE…（14分）
證法2：設AB=BB₁=2，CE=x，∵D為AC的中點，且AC₁⊥A₁D，
∴A₁B=A₁C₁=2

2

又∵B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，B₁C₁⊥A₁B₁∴B₁C₁=2，
以B為坐標原點，分別以BA，BC，BB₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則B（0，0，0），D（1，1，0），A₁（2，0，2），E（0，2，x），

BD

=(1，1，0)，

BA1

=(2，0，2)，

A1E

=(-2，2，x-2)，則平面A₁BD的法向量

n

=(1，-1，-1)，
由|cos?

n

，

A1E

＞|=

|x+2|

3 (x-2)2+8

=

3

3

得x=1即E是C₁C的中點
∵D、E分別為AC、C₁C的中點，∴DE∥AC₁∵AC₁⊥平面A₁BD，∴DE⊥平面A₁BD
又∵PE?平面BDE，∴平面ABD⊥平面BDE…（14分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是熟練掌握直三棱柱的幾何特征及線面垂直的判定定理，（2）的關鍵是設出CE=x，結合已知中直線A₁E與平面A₁BD所成的角的正弦值為

3

3

，構造關于x的方程．