Question

14、四面體ABCD中，有如下命題：①若AC⊥BD，AB⊥CD則AD⊥BC；②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點，則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大小；③若點O是四面體ABCD外接球的球心，則O在平面ABD上的射影是△ABD的外心；④若四個面是全等的三角形，則四面體ABCD是正四面體．其中正確命題的序號是

①③

（填上所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：本題考察的知識點是棱錐的結構特征，及異面直線及其所成的角，線面垂直之間的轉化，正四面體的判定等知識點，根據上述知識對四個答案逐一進行判斷，易得到答案．

解答：解：①若AC⊥BD，AB⊥CD則AD⊥BC
則連接各棱的中點后，我們易得到一個直三棱柱，
進而易得到AD⊥BC，故①正確；
②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點，
則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角或與異面直線AC與BD所成角互補，故②錯誤；
③若點O是四面體ABCD外接球的球心，
則點O到平面ABD三個頂點的距離相等，利用勾股定理易得
點O在平面ABD上的射影到ABD三個頂點的距離相等，即為△ABD的外心，故③正確；
④若四個面是全等的三角形，但不一定等邊三角形，故四面體ABCD也不一定是正四面體，故④錯誤．
故答案為：①③

點評：我們在求兩條異面直線的夾角時經常用平移的方法，構造三角形，進而解三角形求出夾角，但根據等解定理，構造的三角形中的角可能是銳角也可能是鈍角，但兩條直線的夾角不能為鈍角，故三角形中形成的角可能與線線夾角相等也可能互補．