Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若不經過坐標原點的直線l與圓C相切，且直線l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程；
（2）設點P在圓C上，求點P到直線x-y-5=0距離的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）把圓的方程化為標準，找出圓心坐標和半徑，根據直線l在兩坐標軸上的截距相等且不經過坐標原點設出直線l的方程為x+y+m=0，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，讓距離等于半徑列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，進而確定出直線l的方程；
（2）利用點到直線的距離公式求出圓心到直線x-y-5=0的距離d，所以點P到直線x-y-5=0距離的最大值為d+r，最小值為d-r，利用d與r的值代入即可求出值．

解答：解：（1）圓C的方程可化為（x+1）²+（y-2）²=2，
即圓心的坐標為（-1，2），半徑為

2

，
因為直線l在兩坐標軸上的截距相等且不經過坐標原點，
所以可設直線l的方程為 x+y+m=0，
于是有

|-1+2+m|

1+1

=

2

，得m=1或m=-3，
因此直線l的方程為x+y+1=0或x+y-3=0；
（2）因為圓心（-1，2）到直線x-y-5=0的距離為

|-1-2-5|

1+1

=4

2

，
所以點P到直線x-y-5=0距離的最大值與最小值依次分別為5

2

和3

2

．

點評：此題考查學生掌握直線與圓位置關系的判別方法，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，是一道中檔題．