Question

已知四邊形ABCD的等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如圖1）現將△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如圖2），連結AC、AB、設M是AB的中點.

   （Ⅰ）求證：BC⊥平面AEC；

   （Ⅱ）判斷直線EM是否平行平面ACD，并說明理由.

Answer 1

證明：

（Ⅰ）在圖1中，過C作CF⊥EB,

∵DE⊥EB，∴四邊形CDEF是矩形．

∵CD=1，∴EF=1.

∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB=3，

∴AE=BF=1.

∵∠BAD=45°,∴DE=CF=1.

連結CE，則CE=CB=.

∵EB=2,∴∠BCE=90°，則BC⊥CE.                             

在圖2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，

∴AE⊥平面BCDE.

∵BC平面BCDE，∴AE⊥BC．                         

∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC．                        

 （Ⅱ）用反證法.假設EM∥平面ACD.

∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，

∴EB∥平面ACD.                                           

∵EB∩EM=E，∴平面AEB∥平面ACD．                    

而A∈平面AEB，A∈平面ACD，                   

與平面AEB∥平面ACD矛盾．

∴假設不成立.

∴EM與平面ACD不平行.