Question

已知等差數列{a_n}中，公差d＞0，其前n項和為S_n，且滿足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）通過構造一個新的數列{b_n}，是否存在一個非零常數c，使{b_n}也為等差數列；
（3）求的最大值．

Answer 1

解：（1）∵等差數列{a_n}中，公差d＞0，
∴．
（2），=，
令，即得b_n=2n，數列{b_n}為等差數列，
∴存在一個非零常數，使{b_n}也為等差數列．
（3），
∵，
∵n∈N⁺，
∴n=45時，有最大值．
分析：（1）利用通項公式，建立關于a₁，d 的方程組，并解出a₁，d 可求通項公式．
（2）寫出bn的表達式，根據等差數列通項公式特點：關于n的一次函數形式，確定是否存在．
（3）研究f（n）的函數性質，結合分式形式，考慮用基本不等式法求最值．
點評：本題考查等差數列的定義，通項公式，數列的函數性質，考查分析解決問題、計算的能力．