Question

設兩個向量

e1

，

e2

滿足|

e1

|=2，|

e2

|=1，

e1

與

e2

的夾角為

π

3

，若向量2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

的夾角為鈍角，則實數t的范圍為

（-7，-

14

2

）∪（-

14

2

，-

1

2

）

．

Answer 1

分析：根據向量2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

的夾角為鈍角，得其數量積小于0，展開后得到關于t的不等式求解t的范圍，然后除掉兩向量共線反向時的t的值．

解答：解：由向量2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

的夾角為鈍角，得

(2t e1 +7 e2 )•( e1 +t e2 )

|2t e1 +7 e2 || e1 +t e2 |

＜0，
即(2t

e1

+7

e2

)•(

e1

+t

e2

)＜0，
2t|

e1

|2+2t2

e1

•

e2

+7

e2

•

e1

+7t|

e2

|2＜0，
化簡即得2t²+15t+7＜0，
解得-7＜t＜-

1

2

，
當夾角為π時，也有(2t

e1

+7

e2

)•(

e1

+t

e2

)＜0，
但此時夾角不是鈍角，
設2t

e1

+7

e2

=λ(

e1

+t

e2

)，λ＜0，
則

2t=λ 7=λt γ＜0

，∴

λ=- 14 t=- 14 2

∴所求實數t的范圍是(-7，-

14

2

)∪(-

14

2

，-

1

2

)．

點評：本題考查了平面向量數量積的運算，兩向量夾角為銳角，數量積大于0，夾角為鈍角，數量積小于0，注意數量積小于0時夾角還有180°的情況，此題是中檔題，也是易錯題．