Question

對于函數f（x）=ax²+b|x-m|+c  （其中a、b、m、c為常數，x∈R），有下列三個命題：
（1）若f（x）為偶函數，則m=0；
（2）不存在實數a、b、m、c，使f（x）是奇函數而不是偶函數；
（3）f（x）不可以既是奇函數又是偶函數．其中真命題的個數為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：（1）若f（x）為偶函數，則f（-x）=f（x），代入可求
（2）若f（x）是奇函數而不是偶函數則f（0）=b|m|+c=0且bm≠0，此時f（x）=b|x-m|-b|m|不可能是奇函數
（3）若f（x）既是奇函數又是偶函數，則f（x）=0，只要a=b=c=0，從而可判斷

解答：解：（1）若f（x）為偶函數，則f（-x）=f（x），
∴a（-x）²+b|-x-m|+c=ax²+b|x-m|+c
∴b|x-m|=b|x+m|
∴m=0或b=0
故（1）錯誤
（2）若f（x）是奇函數而不是偶函數則f（0）=b|m|+c=0且bm≠0
此時f（x）=b|x-m|-b|m|不可能是奇函數，故（2）正確
（3）若f（x）既是奇函數又是偶函數，則f（x）=0
此時只要a=b=c=0，m為任意的數，故（3）錯誤
故選：B

點評：本題主要考查了函數的奇偶性的判斷在解題中的應用，解題的關鍵是靈活利用奇函數與偶函數的定義．