Question

已知圓：及定點，點是圓上的動點，點在上，點在上，且滿足＝2，

·＝． （1）若，求點的軌跡的方程；

（2）若動圓和（1）中所求軌跡相交于不同兩點，是否存在一組正實數，使得直線垂直平分線段，若存在，求出這組正實數；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）點為的中點，

又，

或點與點重合．∴    …………2分

又

∴點的軌跡是以為焦點的橢圓，

且，

∴的軌跡方程是 …………6分

（2）

解：不存在這樣一組正實數，下面證明：    ……7分

由題意，若存在這樣的一組正實數，當直線的斜率存在時，

設之為，故直線的方程為：  

，設，中點，

則，兩式相減得：．

…………9分

注意到，

且  ，

 則 ，     ②

又點在直線上，，

代入②式得：．

因為弦的中點在⑴所給橢圓內，故，

這與矛盾，所以所求這組正實數不存在．       …………13分

當直線的斜率不存在時，直線的方程為，

則此時，

代入①式得，這與是不同兩點矛盾．

綜上，所求的這組正實數不存在．          ………14分