Question

設直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0交于M，N兩點，且M，N關于直線x+y=0對稱，求不等式組

kx-y+1≥0 kx-my≤0 y≥0

表示平面區域的面積．

Answer 1

分析：由M與N關于x+y=0對稱得到直線y=kx+1與x+y=0垂直可求k的值；由直線與圓相交的性質可得，x+y=0經過圓x²+y²+kx+my-4=0的圓可得m的值，把k的值和m的值代入不等式組，在數軸上畫出相應的平面區域，求出面積即可．

解答：解：因為M與N關于x+y=0對稱，
直線y=kx+1與直線x+y=0垂直且被直線平分
∴k=1，直線MN的方程為y=x+1；
由直線與圓相交的性質可得，x+y=0經過圓x²+y²+kx+my-4=0的圓心
∴k+m=0
∴m=-1
所以把k=1，m=-1代入不等式組得

x-y+1≥0 x+y≤0 y≥0

畫出不等式所表示的平面區域如圖，△AOB為不等式所表示的平面
聯立

y=-x y=x+1

可得B（-

1

2

，0）
∵A（-1，0）
所以S_△AOB=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

點評：此題考查學生掌握直線與圓的位置關系，靈活運用韋達定理及中點坐標公式化簡求值，會進行簡單的線性規劃，是一道中檔題．