Question

已知函數f(x)=

2x+3

3x

，數列a_n滿足a1=1，an+1=f(

1

an

)，n∈N*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，求a_2n-1-a_2n+1及T_n；
（3）令bn=

1

an-1an

(n≥2)，b1=1，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn＜

m-2004

2

對一切n∈N^*成立，求最小正整數m．

Answer 1

分析：本題考查的是數列與不等式的綜合問題．在解答時：
（1）結合函數解析式和遞推關系即可探索出數列的特點，再利用等差數列的特點即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）結合（1）的結論即可獲得a_2n-1-a_2n+1的值，同時通過a_2n-1•a_2n-a_2n•a_2n+1的表達即可獲得T_n中數列的通項，結合等差數列的知識即可獲得問題的解答；
（3）首先利用（1）的結論對b_n進行化簡，再利用裂項的方法即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）由題意可知：an+1=f(

1

an

)=

2 an +3

3 an

=

2+3an

3

=an+

2

3

，
∴數列{a_n}為以1為首項，以

2

3

為公差的等差數列，
所以通向公式為an=1+(n-1)•

2

3

=

2

3

n+

1

3

，
即：an=

2

3

n+

1

3

，n∈N*；
（2）∵T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，結合（1）的結論可知：a2n-1-a2n+1=-

4

3

且a2n-1•a2n-a2n•a2n+1=(

4n

3

+

1

3

) (-

4

3

)=-

4

9

(4n+1)，
∴Tn=-

4

9

(

5+4n+1

2

)n=-

4

9

(2n2+3n)，
故：a2n-1-a2n+1=-

4

3

，Tn=-

4

9

(2n2+3n)．
（3）∵bn=

1

an-1an

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Sn=

3

2

(

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

5

2

-

9

2

•

1

2n+1

(n≥2)
∴Sn=

5

2

-

9

2

•

1

2n+1

(n≥2)
∴Sn＜

5

2

又因為Sn＜

m-2004

2

對一切n∈N^*成立，
∴

m-2004

2

≥

5

2

?m≥2009
故：m的最小值為2009．

點評：本題考查的是數列與不等式的綜合問題．在解答的過程當中充分體現了遞推公式的知識、等差數列的知識、列項的方法以及恒成立問題的解答規律．值得同學們體會和反思．