Question

（2013•徐州一模）已知a＞0，b＜0，且a+b≠0，令a₁=a，b₁=b，且對任意的正整數k，當a_k+b_k≥0時，ak+1=

1

2

ak-

1

4

bk，bk+1=

3

4

bk；當a_k+b_k＜0時，bk+1=-

1

4

ak+

1

2

bk，ak+1=

3

4

ak．
（1）求數列{a_n+b_n}的通項公式；
（2）若對任意的正整數n，a_n+b_n＜0恒成立，問是否存在a，b使得{b_n}為等比數列？若存在，求出a，b滿足的條件；若不存在，說明理由；
（3）若對任意的正整數n，a_n+b_n＜0，且b2n=

3

4

b2n+1，求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）通過計算轉化建立{b_n+a_n}的相鄰兩項之間的關系是解決本題的關鍵，發現該數列是等比數列，從而確定出通項公式；
（2）假設存在合題意的a，b，然后確定出b_n的關系式是解決本題的關鍵，通過分析其相鄰項之間的關系即可求解
（3）通過b_n的相應項之間的關系得到關于n的不等關系，然后結合已知a_n的遞推關系可求b_n的表達式

解答：解：（1）當a_k+b_k≥0時，ak+1=

1

2

ak-

1

4

bk，bk+1=

3

4

bk；
∴a_k+1+b_k+1=

1

2

ak-

1

4

bk+

3

4

bk=

1

2

(ak+bk)
當a_k+b_k＜0時，bk+1=-

1

4

ak+

1

2

bk，ak+1=

3

4

ak．
∴a_k+1+b_k+1=-

1

4

ak+

1

2

bk+

3

4

ak=

1

2

(ak+bk)
∴總有a_k+1+b_k+1=

1

2

(ak+bk)
∵a₁=a，b₁=b，
∴a₁+b₁=b+a
∴數列{a_n+b_n}是以a+b為首項，以

1

2

為公比的等比數列
∴b_n+a_n=（b+a）（

1

2

^）n-1．
（2）∵a_n+b_n＜0恒成立
∴（b+a）(

1

2

)n-1＜0恒成立
∴b+a＜0
∵當a_k+b_k＜0時，bk+1=-

1

4

ak+

1

2

bk，ak+1=

3

4

ak．
∴an=a•(

3

4

)n-1
∴bn=(a+b)•(

1

2

)n-1-a•(

3

4

)n-1不可能是個等比數列
故{b_n}不是等比數列
（3）∵a_n+b_n＜0，bk+1=-

1

4

ak+

1

2

bk，ak+1=

3

4

ak．
∴b2n+1=-

1

4

a2n+

1

2

b2n，a2n+1=

3

4

a2n
∵b2n=

3

4

b2n+1
∴b2n+1=

4

3

b2n=-

1

4

a2n+

1

2

b2n
∴b2n=-

3

10

a2n=-

3

10

a•(

3

4

)2n-1
∴b_n=-

3a

10

•(

3

4

)n-1

點評：本題考查數列的綜合問題，考查數列的遞推關系與通項公式之間的關系，考查學生探究性問題的解決方法，注意體現轉化與化歸思想的運用，考查學生分析問題解決問題的能力和意識．