Question

如圖，將圓分成n個區域，用3種不同顏色給每個區域染色，要求相鄰區域顏色互異，把不同的染色方法種數記為a_n．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）求證：a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）；
（3）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

解：（1）當n=1時，不同的染色方法種數a₁=3，
當n=2時，不同的染色方法種數a₂=3×2=6，
當n=3時，不同的染色方法種數a₃=3×2×1=6，
當n=4時，分扇形區域1，3同色與異色兩種情形
∴不同的染色方法種數a₄=3×1×2×2+3×2×1×1=18
（2）證明；依次對扇形區域1，2，3，…，n，n+1染色，不同的染色方法種數為3×2ⁿ（n≥2）
其中扇形區域1與n+1不同色的有a_n+1種，扇形區域1與n+1同色的有a_n種．
∴a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）；
（3）a₂+a₃=3×2²，a₃+a₄=3×2³，…，a_n-1+a_n=3×2^n-1，將上述n-2個等式兩邊分別乘以（-1）^k（k=2，3，…，n-1），再相加得
分析：（1）直接求出n=1時a₁，n=2時a₂，n=3時a₃，n=4時a₄；的值；
（2）依次對扇形區域染色求出a_n然后說明它與a_n+1（n≥2）的關系式：a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）
（3）由（2）a₂+a₃=3×2²，a₃+a₄=3×2³，…，a_n-1+a_n=3×2^n-1，將上述n-2個等式兩邊分別乘以（-1）^{k，整理計算即可}．
點評：考查排列組合的應用，數列與不等式的關系的應用，數列的求和的基本方法，二項式定理的應用，考查轉化思想，計算能力，難度較大