Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c。

   （1）若a>b>c,且f（1）=0,證明f（x）的圖象與x軸有兩個交點;

   （2）在（1）的條件下,是否存在mR,使得當f（m）=-a成立時,f（m+3）為正數,證明你的結論;若不存在,說明理由;

   （3）若對x₁,x₂R,且x₁<x₂,f（x₁）≠f（x₂）,方程f（x）=[f（x₁）+f（x₂）]有兩個不等的實根,證明必有一個實根屬于（x₁,x₂）;

Answer 1

（1）3分,∵f（1）=0 ∴a+b+c=0   又a>b>c    ∴a>0,c<0,

⊿=b²-4ac>0  ∴圖象與x軸有兩個交點．

       （3）4分,另g（x）=f（x）-]

∵g（x₁）g（x₂）=[f（x₁）-[f（x₂）

-=-[f（x₁-f（x₂））²≤0

又∵f（x₁）≠f（x₂）,   

∴g（x₁）g（x₂）<0,   ∴g（x）=0必有一個根在區間（x₁,x₂）