Question

已知函數．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）求函數的單調區間；
（3）設函數．若至少存在一個，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）時，在上單調遞減；當時，單調遞增區間為和，單調遞減區間為；時， 在上單調遞增；（3）實數的取值范圍為.

試題分析：（1）當時，先確定，接著求出，進而求出，最后由直線的點斜式即可寫出所求的切線方程；（2）先確定函數的定義域，設，接著針對這個二次函數開口方向及與軸正半軸有多少個交點的問題分、、三類進行討論，進而確定各種情況下的函數的單調區間，最后將各個情況綜合描述即可；（3）法一：先將至少存在一個，使得成立的問題等價轉化為：令，等價于“當 時，”，進而求取即可解決本小問；法二：設，定義域為，進而將問題轉化為等價于當 時，，從中對參數分、、、，進行求解即可.
函數的定義域為，   1分
（1）當時，函數，，
所以曲線在點處的切線方程為
即         4分
（2）函數的定義域為
1.當時，在上恒成立
則在上恒成立，此時在上單調遞減     5分
2.當時，
（�。┤�
由，即，得或      6分
由，即，得         7分
所以函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為  9分
（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時 在上單調遞增                        10分
綜上可知：時，在上單調遞減；當時，單調遞增區間為和，單調遞減區間為；時， 在上單調遞增
（3）因為存在一個使得
則，等價于                   12分
令，等價于“當 時，”
對求導，得                 13分
因為當時，，所以在上單調遞增
所以，因此                16分
另解：設，定義域為

依題意，至少存在一個，使得成立
等價于當 時，               11分
（1）當時
在恒成立，所以在單調遞減，只要
則不滿足題意        12分
（2）當時，令得
（ⅰ）當，即時
在上，所以在上單調遞增
所以，由得，，所以   13分
（ⅱ）當，即時
在上，所以在單調遞減
所以，由得      14分
（ⅲ）當，即時， 在上，在上
所以在單調遞減，在單調遞增
，等價于或，解得，所以，       15分
綜上所述，實數的取值范圍為               16分.