Question

已知a、b、c是正實數，求證：

a2

b2

+

b2

c2

+

c2

a2

≥

b

a

+

c

b

+

a

c

．

Answer 1

分析：由實數平方的非負性可得（

a

b

-

b

c

）²+（

b

c

-

c

a

）^2+（

c

a

-

a

b

）²≥0，利用不等式的性質，將其展開后，進行變形，即可證得結論．

解答：解：∵（

a

b

-

b

c

）²+（

b

c

-

c

a

）^2+（

c

a

-

a

b

）²≥0
即2•（

a 2

b2

+

b2

c2

+

c2

a2

）-2•（

b

a

+

c

b

+

a

c

）≥0
即2•（

a 2

b2

+

b2

c2

+

c2

a2

）≥2•（

b

a

+

c

b

+

a

c

）
∴

a 2

b2

+

b2

c2

+

c2

a2

≥

b

a

+

c

b

+

a

c

．（10分）

點評：本題考查的知識點是不等式的證明，其中分析不等式兩邊的形式，觀察到不等號左邊的平方形式，而采用平方法進行切入是解答本題的關鍵．