Question

（本小題滿分14分）如圖，在正方體中，、分別

為棱、的中點．（1）求證：∥平面；

（2）求證：平面⊥平面；

（3）如果，一個動點從點出發在正方體的

表面上依次經過棱、、、、上的點，

最終又回到點，指出整個路線長度的最小值并說明理由.

Answer 1

(Ⅰ) 見解析   (Ⅱ)  見解析 （Ⅲ）

解析:

（1）證明:連結.

在正方體中，對角線.又 E、F為棱AD、AB的中點，

 .   .……2分又B₁D₁平面，平面，

 EF∥平面CB₁D₁. ……4分

（2）證明: 在正方體中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，

 AA₁⊥B₁D₁.又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁， B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.……6分

又 B₁D₁平面CB₁D₁，平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．……8分

（3）最小值為 .  …10分

如圖，將正方體六個面展開成平面圖形， ……12分

從圖中F到F，兩點之間線段最短，而且依次經過棱BB₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁D、DA上的中點，所求的最小值為 .…14分