Question

設△ABC是銳角三角形，a、b、c分別是內角A、B、C所對邊長，已知向量

m

=(sin(

π

3

+B)，sinB-sinA)，

n

=(sin(

π

3

-B)，sinB+sinA)，若

m

⊥

n

（1）求角A的值
（2）若a=3

3

，b=2c，求三角形面積S_△ABC．

Answer 1

分析：（l）利用向量的垂直，數量積為0，通過兩角和與差的三角函數以及平方差公式，化簡表達式直接求出A的正弦函數值，求出A即可．
（2）通過余弦定理求出b，c的大小，然后利用三角形的面積公式求解即可．

解答：解：（1）因為

m

⊥

n

，
所以sin(

π

3

+B)sin(

π

3

-B)+(sinB-sinA)(sinB+sinA)=0，
∴(

1

2

sinB+

3 cosB

2

)(

3

2

cosB-

1

2

sinB)+sin²B-sin²A=0
∴

3

4

cos2B +

3

4

sin2B-sin2A=0，
sinA=±

3

2

，因為△ABC是銳角三角形，A、B、C是內角，
所以sinA=

3

2

，A=

π

3

．
（2）由（1）可知A=

π

3

，又a=3

3

，b=2c，
所以a²=b²+c²-2bccosA，
27=3c²，所以c=3，b=6，
所以三角形的面積為：S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×3×6×

3

2

=

9 3

2

．

點評：本題考查向量的數量積公式的應用，余弦定理以及三角形的面積的求法，考查計算能力．