Question

（I）已知數列，其中，且數列為等比數列，求常數；

（II）設、是公比不相等的兩個等比數列，，證明數列不是等比數列．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為{c_n+1－pc_n}是等比數列，故有

（c_n+1－pc_n）²=（ c_n+2－pc_n+1）（c_n－pc_n－1），

將c_n=2ⁿ＋3ⁿ代入上式，得

[2^n＋1+3^n＋1－p（2ⁿ＋3ⁿ）]²

=[2^n＋2+3^n＋2－p（2ⁿ⁺¹＋3ⁿ⁺¹）]?[2ⁿ+3ⁿ－p（2^n－1＋3^n－1）]，                

即[（2－p）2ⁿ+（3－p）3ⁿ]²

=[（2－p）2ⁿ⁺¹+（3－p）3ⁿ⁺¹][ （2－p）2^n－1+（3－p）3^n－1]，

整理得（2－p）（3－p）?2ⁿ?3ⁿ=0，

解得p=2或p=3．                                               

（Ⅱ）設{a_n}、{b_n}的公比分別為p、q，p≠q，c_n=a_n+b_n．

為證{c_n}不是等比數列只需證≠c₁?c₃．

事實上，=（a₁p＋b₁q）²=p²＋q²＋2a₁b₁pq，

c₁?c₃=（a₁＋b₁）（a₁ p²＋b₁q²）= p²＋q²＋a₁b₁（p²＋q²）．

由于p≠q，p²＋q²>2pq，又a₁、b₁不為零，

因此c₁?c₃，故{c_n}不是等比數列．