Question

點(diǎn)P是曲線y=

1

2

(x2+1)上任意一點(diǎn)，則P到直線y=x-2的距離的最小值是

2

．

Answer 1

分析：作直線y=x-2的平行線y=x+m，使此平行線和曲線相切，把y=x+m代入曲線y=

1

2

(x2+1)，利用△=0可得 m 值，
再利用兩平行線間的距離公式求出兩平行線間的距離．

解答：解：作直線y=x-2的平行線，使此平行線和曲線相切，則曲線的切線方程為y=x+m 的形式．
把y=x+m代入曲線y=

1

2

(x2+1)得   x²-2x+1-2m=0，
由△=4-4（1-2m）=0 得，m=0．
故曲線的切線方程為y=x，由題意知，這兩平行線間的距離即為所求．
這兩平行線間的距離為

|-2-0|

12+(-1)2

=

2

2

=

2

，
故答案為：

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩平行線間的距離公式，直線與曲線相切的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．