Question

已知與圓C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，且|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求a與b滿足的關(guān)系；
（2）在 （1）的條件下，求線段AB中點的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由于直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求a與b滿足的關(guān)系；
（2）假設(shè)中點坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式及（1）的結(jié)論，可求線段AB中點的軌跡方程．

解答：解：①⊙C可化為：（x-1）²+（y-1）²=1
圓心C（1，1），r=1（3分）
由題意，直線l的方程可設(shè)為

x

a

+

y

b

=1
即 bx+ay-ab=0
∵直線與圓相切∴

|b+a-ab|

a2+b2

=1
整理得（a-2）（b-2）=2（a＞2，b＞2）（8分）
②設(shè)線段AB的中點M（x，y）
則

x= a 2 y= b 2 (a-2)(b-2)=2

將a=2x，b=2y代入得：(x-1)(y-1)=

1

2

 (x＞1， y＞1)（12分）

點評：本題以直線與圓相切為載體，綜合考查直線與圓的位置關(guān)系，考查軌跡方程的求法，有一定的綜合性．