Question

已知函數f（x）=m（x-m）（x-m-1），g（x）=2^-x-1，若命題p：?x∈（3，+∞），f（x）g（x）≤0為假命題，則實數m的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：先求出命題p成立的條件，利用根據全稱命題為假命題，即可求出m的取值范圍．

解答：解：當x∈（3，+∞）時，g（x）=2^-x-1＜

1

8

-1=-

7

8

＜0，
若：?x∈（3，+∞），f（x）g（x）≤0，
則?x∈（3，+∞），f（x）≥0，即?x∈（3，+∞），m（x-m）（x-m-1）≥0，
若m=0時，不等式等價為0≥0成立．
若m＞0，則不等式等價為（x-m）（x-m-1）≥0，
要使?x∈（3，+∞），f（x）≥0，
則滿足m+1≤3，即m≤2，此時0＜m≤2．
若m＜0，則不等式等價為（x-m）（x-m-1）≤0，
∵x∈（3，+∞），∴此時不等式不成立．
綜上當命題p為真命題時的取值范圍為0≤m≤2，
即p：0≤m≤2．
∵命題p為假命題，
∴￢p為真命題，
∴￢p：m＜0或m＞2．
故答案為：m＜0或m＞2．

點評：本題主要考查含有量詞的命題的應用，利用指數函數和一元二次不等式的性質是解決本題的關鍵．