Question

已知函數f（x）=x（e^x+ae^-x），
（1）當a=-1時，判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）是否存在實數a，使得f（x）是奇函數？若存在，求出a；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據函數的定義域關于原點對稱，且當a=-1時，f（x）=x（e^x-e^-x），滿足f（-x）=f（x），可得f（x）是偶函數．
（2）假設存在實數a使得f（x）是奇函數，則應有f（-x）=-f（x）對任意x∈R恒成立，化簡得（a-1）（e^2x-1）=0恒成立，可得a=1，從而得出結論．

解答：解：（1）由于x∈R，當a=-1時，f（x）=x（e^x-e^-x），再根據 f（-x）=（-x）（e^-x-e^x）=f（x），可得f（x）是偶函數．
（2）假設存在實數a使得f（x）是奇函數，
∵f（-x）=（-x）（e^-x+ae^x），-f（x）=-x（e^x+ae^-x），
要使f（-x）=-f（x）對任意x∈R恒成立，即e^x+ae^-x=e^-x+ae^x恒成立，
故有（a-1）e^x=（a-1）e^-x，即（a-1）（e^2x-1）=0恒成立，
∴a-1=0，
∴a=1，即存在實數a，滿足條件．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的判斷和證明，函數的奇偶性的應用，函數的恒成立問題，屬于中檔題．