Question

14．如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點，C使在塔底的正東方向上，測得點的仰角為60°，再由點沿北偏東15°方向走10米到位置，測得∠BDC=45°，若AB⊥平面BCD，則塔AB的高是$10\sqrt{6}$米．

Answer 1

分析 先在△ABC中求出BC，在△BCD中利用正弦定理，即可求得結論．

解答 解：設塔高AB為x米，根據題意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，從而有BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°
由正弦定理可得，$\frac{BC}{sin∠BDC}=\frac{CD}{sin∠CBD}$，
∴BC=$\frac{10sin45°}{sin30°}$=10$\sqrt{2}$．
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}x=10\sqrt{2}$．
∴x=10$\sqrt{6}$．
故答案為：$10\sqrt{6}$．

點評 本題考查了正弦定理在實際問題中的應用，解決本題的關鍵是要把實際問題轉化為數學問題，屬于中檔題．