Question

設函數f（x）=x²+bln（x+1），
（1）若對定義域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求實數b的值；
（2）若函數f（x）在定義域上是單調函數，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據對定義域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立知函數f（x）在定義域內的最小值為f（1），從而得到f′（1）=0即可
（2）要求函數f（x）在定義域上是單調函數，即要求f′（x）≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立，然后分類討論：當f′（x）≥0時，即2x²+2x+b≥0在（-1，+∞）上恒成立，即b≥-2x²-2x=恒成立；當f′（x）≤0時，2x²+2x+b≤0，即b≤-（2x²+2x）恒成立，因-（2x²+2x）在（-1，+∞）上沒有最小值，故不符合題意
解答：解：（1）由x+1＞0得x＞-1
∴f（x）的定義域為（-1，+∞），
對x∈（-1，+∞），都有f（x）≥f（1），
∴f（1）是函數f（x）的最小值，故有f′（1）=0，
，∴，
解得b=-4．
（2）∵，
又函數f（x）在定義域上是單調函數，
∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立．
若f′（x）≥0，
∵x+1＞0，
∴2x²+2x+b≥0在（-1，+∞）上恒成立，
即b≥-2x²-2x=恒成立，由此得b≥；
若f′（x）≤0，
∵x+1＞0，
∴2x²+2x+b≤0，即b≤-（2x²+2x）恒成立，
因-（2x²+2x）在（-1，+∞）上沒有最小值，
∴不存在實數b使f（x）≤0恒成立．
綜上所述，實數b的取值范圍是．
故答案為：（1）b=-4；（2）實數b的取值范圍是．
點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，利用導數研究函數的單調性，另外還有分類討論的思想，屬于基礎題．